일반기계기사 : 재료역학 1-6 힘의 평형 방정식

Day 7

재료역학 1-6

6. 힘의 평형

: 물체가 정지하고 있을 때 미지의 외력을 결정하기위해서는 다음과 같은 평형 조건식을 만족하여야 합니다.

① 입체에 대한 평형방정식 ( = 6개가 있습니다. )

ΣX=0, ΣY=0, ΣZ=0 ( 의미 = X,Y,Z 방향으로 모두 합했을때 0이 되어야 한다. )

ΣMx=0, ΣMy=0, ΣMz=0 ( 의미 = X,Y,Z 에서 회전하는 모든 모멘트 합이 0이 되어야 한다. )

② 평면에 대한 평형방정식 ( = 3개가 있습니다. ) - ★★

ΣX=0, ΣY=0, ΣM=0

" 여기서, X, Y, Z 가 의미하는 것은 X, Y, Z 방향의 힘의 성분 " 이다.

" Mx, ΣMy, ΣMz, 가 의미하는 것은 X, Y, Z 주위를 회전하는 모멘트 성분 " 이다.

예) 아래의 그림 1을 보면 X 축 수평 방향으로 힘이 작용되고 있습니다.

왼쪽은 200 N , 임의의 점은 오른쪽으로 50 N, 오른쪽 150N 

   그림 1.

평형 방정식을 이용하면

ΣX = -200N + 50N + 150N = 0  " 기준 : 오른방향이면 부호 +, 왼방향이면 부호 - "

그렇다면 " 위 그림 1은 전체 합계가 0 이므로 평형방정식을 만족하므로 성립되었다. " 라고 봅니다.

예) 옆 그림 2을 보면 Y 축 수평 방향으로 힘이 작용되고 있습니다.

ΣY = 200N - 60N - 150N = -10 N ≠ 0 " " 기준 : 위방향이면 부호 +, 아래방향이면 부호 - "

그렇다면 " 그림 2은 전체 합계가 0 이 아니므로 평형방정식을 만족하지 못하며, 문제 해결이

될 수 없다 " 라고 봅니다.

" 가장 중요한 포인트는 X 방향의 전체 합계 와 Y 방향의 전체 합계가 0 을 만족해야 그림속의

물체가 정지하고 있다. 그러므로 평형방정식이 성립된다. " 라고 보시면 됩니다.

위에도 언급한 것과 같이 " 반드시 물체가 정지하고 있을 때 " 라는 문구를 잘 외워 두셔야 될 것 같아요.

  그림 2

예) 아래 그림 3과 같이 평형상태일때 하중 P 가 작용할 때,  X, Y 방향의 평형식 계산 산출

풀이 : 그림을 보시면 한점에 작용한 힘 성분이 3개 입니다.

그렇다면 Day 6 에서 배웠던 합성 문제와 동일하게 풀어보겠습니다. ( 즉 수직과 수평 성분의 합력이 ⅹ 와 y 이다. )

① 왼쪽 y 

x 성분 = y sinα

y 성분 = y cosα

② 오른쪽 y

x 성분 = y sinα                                                                                                                                                                                   그림 3

y 성분 = y cosα

                                                                                                                                                                              

③ 위 x 성분

ΣX = y sinα-y sinα = 0

ΣY = 2y cosα + ⅹ - P = 0            Therefor,     P = 2y cosα + ⅹ

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# 절단법 ( Section Method )

트러스를 임으로 절단하여 절단된 부재의 축력을 보는 것이다.

오른쪽의 그림 4 을 대략.. 아파트 배란다 대피구역에 있는 " 봉? "

이라고 상상하셔도 될 것 같아요.

그림과 같이 하중 P가 작용하고 있을 때, A ~ C 그리고 B ~ C 선의

축력을 구해보는 것 입니다.

단, 정사각형입니다.

만일 봉이 아닌 와이어 경우는 장력이라고 보면 된다.

" 빨간선 " 으로 임의 절단을 하였고, 마주보는 초록색 화살표의 힘은 동일합니다. 그래야 평형방정식이 성립됩니다.

Tac 와 Tbc 를 풀이 해보겠습니다.

C 점에 임의의 십자 선을 작성 후 수직 및 수평 성분의 합력을 계산하면 됩니다.                                             그림 4.

Tac 의 수평성분 = Tac Cos 30˚

          수직성분 = Tac Sin 30˚

Tbc 의 수평성분 = Tbc Cos 30˚

          수직성분 = Tbc Sin 30˚

평형 방정식을 세워보면, 

ΣX = - Tac Cos 30˚ - Tbc Cos 30˚ = 0

= Tac = - Tbc     ←

ΣY = Tac Sin 30˚ - Tbc Sin 30˚ - P ------------  ΣX 식에서 - Tbc 는 Tac 와 같으므로 ~

= Tac 1/2 + Tac 1/2 = P

= Tac = P ( +가 나오므로 인장 ) ------------ P 를 ΣX 식의 Tac 에 대입하면, 

= Tbc = -P ( -가 나오므로 압축 )